Задание 0 № 3073 (https://math.reshuolymp.ru/problem?id=3073) Все натуральные числа, сумма цифр каждого из которых равна 5, упорядочили по возрастанию. Какое число стоит на 125-м месте?
Решение. Подсчитаем количество n-значных чисел, сумма цифр каждого из которых равна 5, для каждого натурального n. Вычтем из старшего разряда 1, получим число (которое может теперь начинаться с нуля), сумма цифр которого равна 4. Представим разряды этого числа в виде ячеек, в каждой из которых лежит число шаров, равное цифре, стоящей в соответствующем разряде. Разложить таким образом 4 шара по n ячейкам — это то же самое, что между 4 шарами установить n минус 1 перегородку (между некоторыми перегородками п аров может не быть вовсе). Это можно сделать
C_n плюс 3 в степени (4) = дробь: числитель: (n плюс 3)(n плюс 2)(n плюс 1) n, знаменатель: 24 конец дроби
способами, столько же существует искомых n-значных чисел.
При n=1, 2, 3, 4, 5 получаем соответственно C_4 в степени (4) =1, C_5 в степени (4) =5, C_6 в степени (4) =15, C_7 в степени (4) =35, C_8 в степени (4) =70, итого 126 чисел. На 126-м месте стоит набольшее пятизначное такое число, то есть 50 000. Значит, на 125-м месте стоит предыдущее — 41 000.
Задание 0 № 3073 (https://math.reshuolymp.ru/problem?id=3073) Все натуральные числа, сумма цифр каждого из которых равна 5, упорядочили по возрастанию. Какое число стоит на 125-м месте?
Решение. Подсчитаем количество n-значных чисел, сумма цифр каждого из которых равна 5, для каждого натурального n. Вычтем из старшего разряда 1, получим число (которое может теперь начинаться с нуля), сумма цифр которого равна 4. Представим разряды этого числа в виде ячеек, в каждой из которых лежит число шаров, равное цифре, стоящей в соответствующем разряде. Разложить таким образом 4 шара по n ячейкам — это то же самое, что между 4 шарами установить n минус 1 перегородку (между некоторыми перегородками п аров может не быть вовсе). Это можно сделать
C_n плюс 3 в степени (4) = дробь: числитель: (n плюс 3)(n плюс 2)(n плюс 1) n, знаменатель: 24 конец дроби
способами, столько же существует искомых n-значных чисел.
При n=1, 2, 3, 4, 5 получаем соответственно C_4 в степени (4) =1, C_5 в степени (4) =5, C_6 в степени (4) =15, C_7 в степени (4) =35, C_8 в степени (4) =70, итого 126 чисел. На 126-м месте стоит наибольшее пятизначное такое число, то есть 50 000. Значит, на 125-м месте стоит предыдущее — 41 000.
Ответ: 41 000.
мой ответ - 410000
Здравствуйте! Да всё вроде правильно в официальном решении. А как Вы получили свой ответ? И что не понравилось в официальном решении?
C(8,4) так я обозначу число сочетаний из 8 по 4 уже содержит в себе C(4,4)+C(5,4)+C(6,4)+C(7,4) и нельзя складывать их с C(8,4). Поэтому 5 значное число дает только 70 вариантов, а 126 вариантов можно получить только 6 значным числом
C(8,4) так я обозначу число сочетаний из 8 по 4 уже содержит в себе C(4,4)+C(5,4)+C(6,4)+C(7,4) и нельзя складывать их с C(8,4). Поэтому 5 значное число дает только 70 вариантов, а 126 вариантов можно получить только 6 значным числом
Да, действительно 5-значное число можно получить ровно 70 способами. Это правильно. Но 4-значное число можно получить 35 способами (и это совсем другие числа, отличные от 5-значных). Ну и соответственно трёхзначных чисел - 15, двузначных - 5, однозначных - 1.
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 1
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения
