а) `log_(sin2x) (tgx+ctgx)=1-log^2_(sin2x) 2`.

ОДЗ: `{(sin2x>0), (sin2x!=1), (tgx+ctgx>0):} iff` `{(2pin<2x<pi+2pin), (2x!=pi/2+2pim), ((tg^2x+1)/(tgx)>0):}` `n, m in Z` `iff``{(pin<x<pi/2+pin), (x!=pi/4+pim), (tgx>0):}` `n, m in Z` `iff` `{(pin<x<pi/2+pin), (x!=pi/4+pim):}`

Так как `tgx+ctgx=sinx/cosx+cosx/sinx=(sin^2x+cos^2x)/(sinxcosx)=2/(sin2x)`, то

`log_(sin2x) (2/(sin2x))+log^2_(sin2x) 2-1=0 iff` `log^2_(sin2x) 2+log_(sin2x) 2-2=0`.

Пусть `log_(sin2x) 2=t`, то `t^2+t-2=0 iff` `[(t=1), (t=-2):}`

Обратно:

`[(log_(sin2x) 2=1), (log_(sin2x) 2=-2):} iff`, `[(sin2x=2 notin), (sin^2 (2x)=1/2):} iff` `sin^2 (2x)=1/2 iff` `sin2x=+-sqrt2/2` `iff` `2x=+-pi/4+pik`, `k in Z` `iff` `x=+-pi/8+(pik)/2`, `k in Z`.

Учитывая ОДЗ, получаем:

`x=pi/8+pik`, `k in Z`.

б) Отбор корней на промежутке `[0;pi]:`

`0<pi/8+pik<pi iff` `0<1/8+k<1 iff` `-1/8<k<7/8`.

Так как `k in Z`, то `k=0`.

При `k=0`, `x=pi/8` `in [0;pi]`

Ответ: а) `pi/8+pik`, `k in Z`; б) `pi/8`.

Примечание: `sin2x=2 notin`, так как `|sin2x|<=1` .

1) `4*sqrt((2^x-1)/(2^x))+sqrt14<=14*sqrt(2^(x-2)/(2^x-1)) iff` `4*sqrt((2^x-1)/(2^x))+sqrt14<=14*sqrt((2^x)/(4*(2^x-1))) iff` `4*sqrt((2^x-1)/(2^x))+sqrt14<=14*1/2*sqrt((2^x)/(2^x-1)) iff` `4*sqrt((2^x-1)/(2^x))+sqrt14<=7*sqrt((2^x)/(2^x-1))`.

Пусть `sqrt((2^x-1)/(2^x))=t`, где `t>=0`, то

`4t+sqrt14-7/t<=0 iff` `(4t^2+sqrt14*t-7)/t<=0 iff` `(4(8t+sqrt14+sqrt126)(8t-sqrt126+sqrt14))/t<=0 iff` `t in [0;(sqrt126-sqrt14)/8]`.

Обратно:

`0<=sqrt((2^x-1)/(2^x))<=(sqrt126-sqrt14)/8 iff` `0<=(2^x-1)/(2^x)<=7`.

Пусть `2^x=z`, где `z>0`, то

`0<=sqrt((z-1)/z)<=7 iff` `{(sqrt((z-1)/z)>=0), (sqrt((z-1)/z)<=7):} iff` `{((z-1)/z>=0), ((z-1)/z<=49):} iff` `{((z-1)/z<=0), ((48z+1)/z>=0):} iff` `z>=1`.

Обратно:

`2^x>=1 iff` `x>=0`.