Задача Всероссийской олимпиады по геометрии 2012 года ( Автор А.Карлюченко ) , привожу её полную формулировку : Пусть M и I – точки пересечения медиан и биссектрис неравнобедренного треугольника ABC, а r – радиус вписанной в него окружности.
Докажите, что MI = r/3 тогда и только тогда, когда прямая MI перпендикулярна одной из сторон треугольника.

_________________
Чтобы добраться до источника, надо плыть против течения.

Здравствуйте, Михаил Николаевич!
Позвольте поинтересоваться, а с какой целью вы сообщили про олимпиаду?
Просто лишний раз сказать спасибо автору идеи этой задачи или намекнуть, что у автора есть другое интересное решение.
Если второе, то нет ли у вас ссылки на это решение?

Здравствуйте , Сергей Вениаминович , задача действительно очень интересна и если автор заходит на этот сайт , то с удовольствием выражаю ему благодарность за красивую задачу , а ещё интересно , что справедливо обратное утверждение и её можно сформулировать как необходимое и достаточное условие и действительно есть красивое и короткое решение , задача № 116913 в системе Гордина : https://problems.ru/view_problem_detail ... ?id=116913

_________________
Чтобы добраться до источника, надо плыть против течения.

Михаил Николаевич, большое спасибо за ссылку!
Интересно было посмотреть другие варианты решения.
Но решения-то там далеко не короткие для меня. Они короткие, если предварительно знаком
с решениями сопутствующих задач. А с использованием гомотетии для доказательства я вообще
первый раз сталкиваюсь. В общем, читая решения, я почувствовал себя первоклашкой, которому
еще учиться и учиться. И еще я почувствовал себя гостем в окружении незнакомых идей, формул, задач и
захотел вернуться в компанию родных и знакомых формул школьного курса. Здесь как-то уютней и интересней.
Вот когда здесь всё хорошо узнаю, и мне станет скучно, пожалуй, попробую перейти на другой уровень,
а пока мне точно рановато туда заглядывать. Разве что изредка, чтобы урвать какой-нибудь новый прием, но
только на примере задачи, с которой долго мучился, а не в общем. Так этот приём лучше усваивается.
Вот за это и спасибо Вам, Михаил Николаевич, что вовремя подкинули ссылку!
Ещё мне интересным показалось в этой задаче, что если MI перпендикулярно стороне, то вписанная окружность
касается средней линии, параллельной этой стороне.