`qquad` Пусть `a, quad b, quad c, quad d quad - quad` действительные неотрицательные числа.

`qquad` Причем `a^2+b^2+c^2+d^2=3.` Найдите наибольшее значение выражения:

`qquad (ab+ac+ad+bc+bd+cd-2abcd)/(a+b+c+d).`

`qquad` Не нарушая общности решения будем считать, что `a ge b ge c ge d ge 0.` Для нахождения

`qquad` наибольшего значение выражения `quad (ab+ac+ad+bc+bd+cd-2abcd)/(a+b+c+d) quad` применим

`qquad` удовлетворяющее условию задачи известное каждому школьнику неравенство

`quad ab+ac+ad+bc+bd+cd-2abcd le a+b+c+d quad.` `qquad` Подставив в выражение

`qquad`это неравенство получим: `qquad (ab+ac+ad+bc+bd+cd-2abcd)/(a+b+c+d) le (a+b+c+d)/(a+b+c+d)=1.`

`qquad` При вышеприведенных ограничениях на `quad a, quad b, quad c, quad d quad` равенство достигается

`qquad` если `quad a=b=c=1, quad d=0 quad`.

`qquad` Четыре простых доказательства используемого неравенства в пределах школьной

`qquad` программы для 7, 8 и 9 продвинутых классов можно посмотреть здесь.