`qquad`Решите в действительных числах уравнение:

`qquad 1+(sqrt(2x^2+1))/|x|-(x^2+x)(1+sqrt(x^2+2x+3))=0.`

`qquad`1. `quad f(t)=t(1+sqrt(t^2+2)).`

`qquad`2. `quad [({(t_(2)=t_(1)=0),(f(t_(2))-f(t_(1))=0):}),({(t_(2)^2+t_(1)^2 ne 0),(f(t_(2))-f(t_(1))=(t_(2)-t_(1))(1+((t_(2)+t_(1))(t_(2)^2+t_(1)^2+2))/(t_(2)sqrt(t_(2)^2+2)+t_(1)sqrt(t_(1)^2+2)))):}):}.`

`qquad`3. `quad f(1/x)=f(x+1) quad iff quad 1/x=x+1 quad iff quad [(x=(-1+sqrt5)/2),(x=(-1-sqrt5)/2):} quad.`

`qquad`Пусть `quad a, quad b, quad c quad - quad `действительные неотрицательные числа.

`qquad` Найдите наименьшее значение выражения: `quad (a+3c)/(a+2b+c)+(4b)/(a+b+2c)-(8c)/(a+b+3c).`

`qquad`1. Для получения максимальных эмоций при нахождении наименьшего значения выражения

`qquad` на множестве действительных неотрицательных чисел рекомендую начать решение с рассмотрения

`qquad` случая `quad a=0, quad b gt 0, quad c gt 0.`

`qquad`2. Найдем наименьшее значение выражения для положительных `quad a, quad b, quad c.` Обозначим

`qquad x=a+2b+c gt 0, quad y=a+b+2c gt 0, quad z=a+b+3c gt 0,` тогда `quad a=-x+5y-3z, quad b=x-2y+z, quad c=z-y quad` и

`qquad (a+3c)/(a+2b+c)+(4b)/(a+b+2c)-(8c)/(a+b+3c)=(-x+5y-3z+3z-3y)/x+(4x-8y+4z)/y-(8z-8y)/z=2(y/x+2x/y)+4(z/y+2y/z)-17 ge`

`qquad ge 4sqrt(y/x*2x/y)+8sqrt(z/y*2y/z)-17 =12sqrt(2)-17. ` Наименьшее значение `quad 12sqrt(2)-17 quad`достигается при `quad x:y:z=1:sqrt(2):2 quad`

`qquad` или `quad a:b:c=(5sqrt(2)-7):(3-2sqrt(2)):(2-sqrt(2)) .`