`qquad`Решите в действительных числах уравнение: `(1-x^2)sqrt(1-x^4)=x^3.`

`quad` 1. `0 lt x lt 1.`

`quad` 2. Замена `t=x^2,` причем `0 lt t lt 1.` Решаем систему:

`qquad {((1-t)^2(1-t^2)=t^3),(0 lt t lt 1):} quad iff quad {(t^4-t^3+2t-1=0),(0 lt t lt 1):} quad iff quad {((2t^2-t+a)^2-((4a+1)t^2-2(a+4)t+a^2+4)=0),(0 lt t lt 1):} quad iff quad`

`qquad iff quad {((2t^2-t+1)^2-(sqrt(5)t-sqrt(5))^2=0),(0 lt t lt 1):} quad iff quad {((2t^2-(sqrt(5)+1)t+sqrt(5)+1)(2t^2+(sqrt(5)-1)t-sqrt(5)+1)=0),(0 lt t lt 1):} quad iff `

`qquad iff quad t=(1-sqrt(5)+sqrt(6sqrt(5)-2))/4 quad.`

`quad` 3. Обратная замена: `{(x^2=(1-sqrt(5)+sqrt(6sqrt(5)-2))/4),(0 lt ч lt 1):} quad iff quad x=(sqrt(1-sqrt(5)+sqrt(6sqrt(5)-2)))/2.`

`qquad` Пусть `a, quad b, quad c quad – quad` действительные неотрицательные числа. Причем `a+b+c=3.`

`qquad` Найдите наибольшее значение выражения: `abc(a^2+b^2+c^2).`

`quad`1. ` abc(a+b+c) = (ab)(ac)+(ab)(bc)+(ac)(bc) le sqrt((ab)^2+(bc)^2+(ac)^2)*sqrt((ac)^2+(ab)^2+(bc)^2) =`

`qquad = (ab)^2+(ac)^2+(bc)^2.`

`quad`2. `9abc = 3abc(a+b+c) le 2abc(a+b+c)+(ab)^2+(ac)^2+(bc)^2 = (ab+ac+bc)^2.`

`quad`3. `abc(a^2+b^2+c^2) le 1/9*(ab+ac+bc)^2*(a^2+b^2+c^2) le 1/9*((2(ab+ac+bc)+(a^2+b^2+c^2))/3)^3 = `

`qquad = 1/9*(((a+b+c)^2)/3)^3 = 1/9*((3^2)/3)^3 = 3.`

`qquad ` Наибольшее значение `quad 3 quad`достигается при `quad a=b=c=1.`