`qquad`Решите в действительных числах уравнение:

`qquad sqrt(1+sqrt(1-x^2))(sqrt((1+x)^5)-sqrt((1-x)^5))+(1-x^2)/2=2+sqrt(1-x^2).`

`quad` 1. Замена `sqrt(1+x)=sqrt(2) sin alpha, quad sqrt(1-x)=sqrt(2) cos alpha, quad 0 le alpha le pi/2.`

`qquad` Решаем систему: `{(4sqrt(2)(sin alpha +cos alpha)(sin^5 alpha - cos^5 alpha) +(sin^2 2 alpha)/2 = 2 + sin 2 alpha), (0 le alpha le pi/2):} quad iff`

`qquad iff quad {(-8sqrt(2)cos 2 alpha(sin^4 alpha +sin^3 alpha cos alpha +sin^2 alpha cos^2 alpha+sin alpha cos^3 alpha+ cos^4 alpha)= 5 - (sin 2 alpha - 1)^2), (0 le alpha le pi/2):} quad iff`

`qquad iff quad {(-2sqrt(2)cos 2 alpha(5 - (sin 2 alpha - 1)^2)= 5 - (sin 2 alpha - 1)^2), (0 le alpha le pi/2):} quad iff quad cos 2 alpha= - (sqrt 2)/4.`

`quad` 2. Обратная замена `{((1-x)/2- (1+x)/2 = - (sqrt 2)/4), (-1 le x le 1):} quad iff quad x = (sqrt 2)/4 .`

`qquad` Пусть `quad a, quad b, quad c quad – quad` действительные неотрицательные числа. Причем `a+b+c=3.`

`qquad` Найдите наименьшее значение выражения: `a^5+b^5+c^5+8(ab+ac+bc).`

`quad`1. ` quad a^5+b^5+c^5+8(ab+ac+bc) = a^5+4(ab+ac)+b^5+4(ab+bc)+c^5+4(ac+bc) =`

`qquad = a^5+4a(3-a)+b^5+4b(3-b)+c^5+4c(3-c)= a^5-4a^2+12a+b^5-4b^2+12b+c^5-4c^2+12c.`

`quad`2. `quad f(x)={((12-(18 root(3)(20))/(25))x; quad 0 le x lt (root(3)(50))/5),(x^5-4x^2+12x; quad (root(3)(50))/5 le x le 3):}.`

`quad`3. `quad a^5+b^5+c^5+8(ab+ac+bc) ge f(a)+f(b)+f(c) ge 3*f((a+b+c)/3) = 3*(1-4+12) = 27.`

`qquad ` Наименьшее значение `quad 27 quad`достигается при `quad a=b=c=1.`