$x\sqrt{x^2+5}+(2x+1)\sqrt{4x^2+4x+6}=0$
Рассмотрим функцию $f=x\sqrt{x^2+5}$, тогда уравнение примет вид $f(x)+f(2x+1)=0$.
Функция $f$ является нечётной, поэтому $f(x)=-f(2x+1)\Leftrightarrow f(x)=f(-2x-1)$.
При $x>0$ функция $f$ монотонно возрастает как произведение положительных монотонно возрастающих функций, следовательно в силу нечётности она возрастает и при $x<0$.
Таким образом $f$ возрастает на $\mathbb{R}$.
В силу возрастания $f$ имеем $f(x)=-f(2x+1) \Leftrightarrow x=-2x-1$, откуда $x=-\frac13$.

`qquad` Решите в действительных числах неравенство: `sqrt((x-1)(x-2))+sqrt((x-1)(x-3)) ge 2sqrt((x-1)(x-4)).`

`qquad`1. ` quad {(0 ge 0),(x=1):} quad iff quad x=1 .`

`qquad`2. `quad {(sqrt((x-1)(x-3))-sqrt((x-1)(x-4)) ge sqrt((x-1)(x-4))-sqrt((x-1)(x-2))),([(x ge 4),(x lt 1):}):} quad iff `

`qquad iff quad {(((x-1)*1)/(sqrt((x-1)(x-3))+sqrt((x-1)(x-4))) ge ((x-1)*(-2))/(sqrt((x-1)(x-4))+sqrt((x-1)(x-2)))),([(x ge 4),(x lt 1):}):} quad iff quad x ge 4 .`

`qquad `Итого: `quad [(x ge 4),(x = 1):} .`