`qquad` Пусть `a, quad b, quad c quad – quad` действительные положительные числа. Причём `ab+bc+ca=1.`

`qquad` Найдите наименьшее значение выражения: `10a^2+10b^2+c^2.`

`qquad` 1. `quad 10a^2+10b^2+c^2=(2a^2+2b^2)+(8b^2+1/2c^2)+(1/2c^2+8a^2) ge 4(ab+bc+ca)=4.`

`qquad` 2. `quad` Наименьшее значение `quad 4 quad`достигается при `quad {(2a^2=2b^2),(8b^2=1/2c^2),(1/2c^2=8a^2):}, quad` т. е. при `quad {(a=b=1/3),(c=4/3):} quad.`

`qquad` Решите в действительных числах неравенство:

`qquad (x+1)sqrt{x+1}sqrt{2x+1}+(2x+1)sqrt{2x+1}sqrt{1-3x}+(1-3x)sqrt{1-3x}sqrt{x+1} ge 3.`

`qquad` 1. `quad` Vasc’s cyclic inequality, Vasile Cirtoaje, 1991.

`qquad quad` Пусть `a, quad b, quad c quad – quad` действительные числа, тогда `quad (a^2+b^2+c^2)^2 ge 3(a^3b+b^3c+c^3a), quad` равенство достигается

`qquad quad` при `quad a=b=c, quad` а также если `quad a/(sin^2((4pi)/7))=b/(sin^2((2pi)/7))=c/(sin^2((pi)/7)) quad` при любой циклической перестановке
`qquad quad` переменных.

`qquad quad {((x+y+z)^2 ge 3(xy+yz+zx)),(x=a^2+bc-ab),(y=b^2+ca-bc),(z=c^2+ab-ca):} quad => quad (a^2+b^2+c^2)^2 ge 3(a^3b+b^3c+c^3a).`

`qquad` 2. `quad` Обозначим `quad a=sqrt{x+1} ge 0, quad b=sqrt{2x+1} ge 0, quad c=sqrt{1-3x} ge 0, quad` тогда справедлива система:

`qquad quad {(a^3b+b^3c+c^3a ge 3),(3=((a^2+b^2+c^2)^2)/3 ge a^3b+b^3c+c^3a):} quad iff quad a=b=c=1, quad` т. е. `quad x=0.`