`qquad` Пусть `quad a, quad b, quad c quad – quad` действительные положительные числа. Причем `quad ab+bc+ca=3.`

`qquad` Найдите наименьшее значение выражения: `(a+b)(a+bc)+(b+c)(b+ca)+(c+a)(c+ab).`

`qquad`1. `quad` Обозначим `quad p=a+b+c, quad q=ab+bc+ca=3, quad r=abc.`

`qquad`a) `quad p^2=(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca) ge 3(ab+bc+ca)=9, quad` т. е. `quad p ge 3.`

`qquad`b) `quad` Поскольку `quad 9(a+b)(b+c)(c+a)-8(a+b+c)(ab+bc+ca)=a(b-c)^2+b(c-a)^2+c(a-b)^2 ge 0, quad`

`qquad qquad` то `quad 9(a+b)(b+c)(c+a) ge 8(a+b+c)(ab+bc+ca) quad` (Nguyen Van Huyen, 2014) и поэтому

`qquad qquad (a+b)(b+c)(c+a) ge 8/9*p*q=8.`

`qquad`c) `quad (a+bc)(b+ca)(c+ab)=((ab)^2+(bc)^2+(ca)^2)+abc(a^2+b^2+c^2)+(abc)^2+abc=`

`qquad qquad = ((ab+bc+ca)^2-2abc(a+b+c))+abc((a+b+c)^2-2(ab+bc+ca))+(abc)^2+abc=`

`qquad qquad = (q^2-2rp)+r(p^2-2q)+r^2+r=(q^2-2rq+r^2)+(rp^2-2rp+r)=(q-r)^2+r(p-1)^2 ge`

`qquad qquad ge (3-r)^2+4r =(r-1)^2+8 ge 8.`

`qquad`2. `quad (a+b)(a+bc)+(b+c)(b+ca)+(c+a)(c+ab) ge 3*root(3)((a+b)(b+c)(c+a)*(a+bc)(b+ca)(c+ab)) ge `

`qquad qquad ge 3*root(3)(8*8)=12. `

`qquad`3. `quad` Наименьшее значение `quad 12 quad`достигается при `quad a=b=c=1.`

`qquad` Решите в действительных числах систему: `quad {(sqrt(((x-y)^2)/2-(x-y)^4)=y^2-2x^2),(y ge 4x^4+4yx^2+1/2):}.`

`qquad qquad qquad {(sqrt(((x-y)^2)/2-(x-y)^4)=y^2-2x^2),(y>=4x^4+4yx^2+1/2):} quad iff quad {(sqrt(((x-y)^2)/2-(x-y)^4)=y^2-2x^2),(1/(16)-(1/4-(x-y)^2)^2 le 1/(16)),(0 le y^2-2x^2 le 1/4),(y ge 4x^4+4yx^2+1/2):}quad iff quad {(sqrt(((x-y)^2)/2-(x-y)^4)=y^2-2x^2),((1/4-(x-y)^2)^2 ge 0),(y^2-2x^2 ge 0),(2x^2 ge y^2-1/4),(y ge 4x^4+4yx^2+1/2):} quad iff quad`

`qquad iff quad {(sqrt(((x-y)^2)/2-(x-y)^4)=y^2-2x^2),((1/4-(x-y)^2)^2 ge 0),(y^2-2x^2 ge 0),(2x^2 ge y^2-1/4),(y+x^2 ge (4x^4+4yx^2+y^2)+1/4),(y ge 4x^4+4yx^2+1/2):} quad iff quad {(sqrt(((x-y)^2)/2-(x-y)^4)=y^2-2x^2),((1/4-(x-y)^2)^2 ge 0),(y^2-2x^2 ge 0),(2x^2 ge y^2-1/4),((2x^2+y)^2-(2x^2+y)+1/4 le 0),(y ge 4x^4+4yx^2+1/2):} quad iff quad {(sqrt(((x-y)^2)/2-(x-y)^4)=y^2-2x^2),((1/4-(x-y)^2)^2 ge 0),(y^2-2x^2 ge 0),(2x^2 ge y^2-1/4),((2x^2+y-1/2)^2 le 0),(y ge 4x^4+4yx^2+1/2):} quad iff quad`

`qquad iff quad {((x-y)^2=1/4),(2x^2 = y^2-1/4),(2x^2+y=1/2),(y = 4x^4+4yx^2+1/2):} quad iff quad [({(x=0),(y=1/2):}), ({(x=-1),(y=-3/2):}):} quad.`

`qquad` Решите в действительных числах неравенство:`quad 1/(2sqrt(3-x)-x-4sqrt(3)-9) le 1/(2sqrt(6-x)-x-6sqrt(2)-12).`

`qquad` 1. `quad` Функция `qquad f(x)=2(sqrt(6-x)-sqrt(3-x))=6/(sqrt(6-x)+sqrt(3-x)) quad - quad`возрастающая функция (как двойная композиция

`qquad quad `убывающих функций), поэтому `quad f(x) le f(3)=2sqrt(3). quad` Поскольку `quad 6sqrt(2)+3-4sqrt(3) gt 8sqrt(2)-4sqrt(3) = 2sqrt(3)(sqrt((32)/3)-2) gt 2sqrt(3),`

`qquad quad ` то ` quad f(x)-6sqrt(2)-3+4sqrt(3) lt 0 .`

`qquad` 2. `quad 1/(2sqrt(3-x)-x-4sqrt(3)-9) le 1/(2sqrt(6-x)-x-6sqrt(2)-12) quad iff quad (2(sqrt(6-x)-sqrt(3-x))-6sqrt(2)-3+4sqrt(3) )/(((sqrt(6-x)+1)^2-(3sqrt(2)+1)^2)((sqrt(3-x)+1)^2-(2sqrt(3)+1)^2)) le 0 quad iff quad `

`qquad iff quad 1/((sqrt(6-x)-sqrt(18))(sqrt(3-x)-sqrt(12))) ge 0 quad iff quad {(x le 3), (1/(((6-x)-18)((3-x)-12)) ge 0):} quad iff quad {(x le 3), (1/((x+12)(x+9)) ge 0):} quad iff quad [(-9 lt x le 3),(x lt -12):} quad.`

`qquad` №25.
`qquad` Диагонали описанной трапеции ABCD с основаниями AD и BC пересекаются в точке O . Радиусы

`qquad`вписанных окружностей треугольников AOD , AOB , BOC и COD равны 7 , 3 , 2 и r соответственно.

`qquad`Найдите r .

`qquad p_(AOB)+p_(COD)=(AB+AO+BO)/2+(CD+CO+DO)/2=(BC+BO+CO)/2+(AD+AO+DO)/2=p_(BOC)+p_(AOD),`

`qquad S_(AOB)/r_(AOB)+S_(COD)/r_(COD)=S_(BOC)/r_(BOC)+S_(AOD)/r_(AOD), quad (k*S_(AOD))/r_(AOB)+(k*S_(AOD))/r_(COD)=(k^2*S_(AOD))/r_(BOC)+S_(AOD)/r_(AOD), quad (r_(BOC)/r_(AOD))/r_(AOB)+ (r_(BOC)/r_(AOD))/r_(COD)= (r_(BOC)/r_(AOD))^2/r_(BOC)+1/r_(AOD),`

`qquad 1/r_(AOB)+ 1/r_(COD)= 1/r_(AOD)+1/r_(BOC), quad 1/3+ 1/r_(COD)= 1/7+1/2, quad r_(COD)=(42)/(13).`