`qquad`№13.

`qquad` Решите в действительных числах неравенство:`quad sqrt(x^2+1)-sqrt(4x^4-4x^2+2) le 2x^3-x-1.`

`qquad` 1. `quad` Обозначим `quad p(x)=((2x-1)(2x+1)(x+1))/(sqrt((2x^2-1)^2+1)+sqrt(x^2+1)), quad g(x)=2x^2+2x+1=2(x+1/2)^2+1/2 ge 1/2 gt 0, quad f(x)=p(x)+g(x), quad `

`qquad quad ` тогда получаем:

`qquad quad [({([(x ge 1/2),(-1 le x le -1/2):}),(p(x) ge 0),(f(x)=p(x)+g(x) gt 0):}),({(-1/2 lt x lt 1/2),(p(x) gt ((-1)(x+1))/(1+1)),(f(x) gt (-(x+1)/2)+(2x^2+2x+1) = 2(x+3/8)^2+7/(32) ge 7/(32) gt 0):}),({(x lt -1),(p(x) gt ((2x-1)(2x+1)(x+1))/(|2x^2-1|+|x|)=((2x-1)(2x+1)(x+1))/((2x+1)(x-1))=2x+2/(x-1)+3),( f(x) gt (2x+2/(x-1)+3)+(2x^2+2x+1) gt (2x+2)+(2x^2+2x+1)=2(x+1)^2+1 ge 1 gt 0):}):}, quad` т. е. `quad f(x) gt 0 quad` при `x in RR.`

`qquad` 2. `quad sqrt(x^2+1)-sqrt(4x^4-4x^2+2) le 2x^3-x-1 quad iff quad ((2x^2-1)^2-x^2)/(sqrt((2x^2-1)^2+1)+sqrt(x^2+1))+(x-1)(2x^2+2x+1) ge 0 quad iff quad {((x-1)f(x) ge 0),(f(x) gt 0):} quad iff`

`qquad iff quad x ge 1.`

`qquad` №7. Устное решение в одну короткую строчку.
`qquad` Пусть `quad a, quad b, quad c quad – quad` действительные положительные числа. Причем `quad abc=1.`

`qquad` Найдите наибольшее значение выражения: `a+b+c+1/a+1/b+1/c-a/b-b/c-c/a.`

`qquad`1. `quad a+b+c+1/a+1/b+1/c-a/b-b/c-c/a le ab+bc+ca le (a+b+c)^2/3=3.`

`qquad`без номера строчки. `quad` Наибольшее значение `quad 3 quad`достигается при `quad a=b=c=1.`

`qquad` Пояснения:
`qquad`a) Выражение`quad a+b+c+1/a+1/b+1/c-a/b-b/c-c/a=(a+b+c)/root(3)(abc)+root(3)(abc)/a+root(3)(abc)/b+root(3)(abc)/c-a/b-b/c-c/a quad - quad`

`qquad - quad` однородное, поэтому не нарушая общности решения можно считать, что `quad a+b+c=3.`

`qquad`b) `quad`Устно (очень известное неравенство)`quad a/b+b/c+c/a=1/3(2(a/b+b/c)+(2b/c+c/a)+(2c/a+a/b)) ge a+b+c.`

`qquad`c) Лишний пункт (но пусть будет)`quad ab+bc+ca le 1/3(2ab+2bc+2ca+a^2+b^2+c^2)=(a+b+c)^2/3.`