`\sum_(cyc) (\frac{a^2} {\sqrt {( b + c)(b^3 + c^3)} })=\sum_(cyc) (\frac{4a^2} {2\sqrt {( b + c)^2(4b^2-4bc+ 4c^2) }})>=`

`>=\sum_(cyc) (\frac{4a^2} {( b + c)^2+4b^2-4bc+ 4c^2 })=\sum_(cyc) (\frac{4a^2} {5b^2-2bc+5c^2})=`

`=\sum_(cyc) (\frac{4a^4} {5a^2b^2-2a^2bc+5a^2c^2})>=\frac{4(a^2+b^2+c^2)^2} {\sum_(cyc) (10a^2b^2-2a^2bc)}=`

`=\frac{ \sum_(cyc) (4a^4+8a^2b^2)} { \sum_(cyc) (10a^2b^2-2a^2bc)}>=\frac{ \sum_(cyc) (a^4+3a^3b+3a^3c+8a^2b^2-3a^2bc)} { \sum_(cyc) (10a^2b^2-2a^2bc)}>=`

`>=\frac{ \sum_(cyc) (a^2b^2+6a^2b^2+8a^2b^2-3a^2bc)} { \sum_(cyc) (10a^2b^2-2a^2bc)}=\frac{ \sum_(cyc) (15a^2b^2-3a^2bc)} { \sum_(cyc) (10a^2b^2-2a^2bc)}=`

`=\frac{ 3\sum_(cyc) (5a^2b^2-a^2bc)} { 2\sum_(cyc) (5a^2b^2-a^2bc)}=\frac{ 3} { 2}.`

1-е неравенство - неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим `2sqrt(xy)<=x+y.`

2-е неравенство - лемма Титу `(a_1^2)/(b_1)+(a_2^2)/(b_2)+(a_3^2)/(b_3)>=((a_1+a_2+a_3)^2)/(b_1+b_2+b_3).`

3-е неравенство - Неравенство Шура `a^4+b^4+c^4>=ab(a^2+b^2)+bc(b^2+c^2)+ca(c^2+a^2)-abc(a+b+c).`

4-е неравенство - неравенство Мюрхеда `(4,0,0)\succ(2,2,0)`, `(3,1,0)\succ(2,2,0)`.

Наименьшее значение `(3)/(2)` достигается при `a=b=c`.

Итак, правильный ответ под номером 4.

Ответ: `4.`