Если в № 13 перенести страшненькое число в левую часть , то можно проверить , что x = 1,5 - корень полученной функции , а так как она возрастает , то он единственный и слева минус , а справа плюс , наверно это халтурное решение

_________________
Чтобы добраться до источника, надо плыть против течения.

Михаил Николаевич!
Вчера один из моих бывших учеников прислал такой результат:
якобы вольфрам-альфа показывает, что исходное неравенство равносильно неравенству
(x-3/2)(x^2+(3/2)*x+21/4)*(x^6+(6x^3/8)+9x^2+(189x)/8+4161/64)<=0.
Я тоже рекомендовал ему идти таим путем, про который горите Вы. Такой путь никак не "халтурный". Вполне приемлемый.
Заметить, что 3/2 - корень не представляет большого труда, если также заметить, что 512=2^9.

Да, "халтурное" (с). С аналогичным неравенством Wolframalpha не справляется:

`x^15+15x^13+90x^11+275x^9+450x^7 +378x^5 + 140x^3 + 15x le 1 quad iff quad x le root(15)(sqrt(5/4)+1/2)-root(15)(sqrt(5/4)-1/2).`

С таким неравенством Wolframalpha справляется:

`x^15+15x^13+90x^11+275x^9+450x^7 +378x^5 + 140x^3 + 15x <=(32768^2-1)/(32768).`

_________________
Никуда не тороплюсь!

И мне так кажется , первый ответ из списка подсказывает корень , который легко проверить и решение становится устным , хотя и верным , но это подсказка админа или программы

Левую часть можно представить в виде : `(x^3 +3x)^3 +3(x^3 +3x) ` ; `f(x) = x^3 +3x ` ; `f(f(x)) <= f(f(3/2)) <=> `x<=3/2`

_________________
Чтобы добраться до источника, надо плыть против течения.

Вольфрамом-альфа никогда не пользовался, не знаю, как это устройство работает. И не хочу знать.
Заметив, что 512=2^9, а также 512x^9+...<=0, можно сделать замену переменной 2x=t.
Тогда относительно t в левой части неравенства получим приведенный многочлен, до корня, равного 3, дойти несложно. При этом выбирай схему Горнера или просто подстановку - кому как нравится.
Далее: деление многочлена на (х-3) известным "уголком".
Получаем возрастающий многочлен. Доказательство этого факта.

Если уж начали решать и нашли одно из решений (в том числе и мое), то второе решение тоже

реальное при замене `{(x=t-1/t),(t>0):}`. У меня есть еще третье решение (из которого понятно откуда

берутся левые части аналогичных неравенств).

_________________
Никуда не тороплюсь!

Ах да, получаем устную систему ` {(t^9-1/t^9 le 2^9-1/2^9), (t>0):} quad iff quad 0 lt t le 2.` Плюс обратная замена.

_________________
Никуда не тороплюсь!

Задача 25
Набросок решения.

Решение задачи 22 :

_________________
Чтобы добраться до источника, надо плыть против течения.