hpbhpb писал(а):
Одно из возможных решений.
Алексей Владимирович,
OlG, можете подсказать, где я не прав?
Я рассуждал так.
Первое уравнение своими решениями имеет серии $\frac{\pi}3+\arcsin\frac{2a-1}{2\sqrt3}+2\pi n$ и $\frac{4\pi}3-\arcsin\frac{2a-1}{2\sqrt3}+2\pi n$, где $n\in\mathbb{Z}$.
При $n\ge1$ эти серии дают положительные корни, что не удовлетворяет условию задачи.
При $n=0$ наибольший положительный корень $\frac{\pi}3+\arcsin\frac{2a-1}{2\sqrt3}$.
При $n=-1$ наибольший положительный корень $-\frac{2\pi}3-\arcsin\frac{2a-1}{2\sqrt3}$.
При $n\le2$ получаем еще меньшие корни.
Второе уравнение дает серии $\pm\frac12\arccos\frac{a}2+\pi k$, где $k\in\mathbb{Z}$.
При $k\le-1$ корни отрицательные, что не удовлетворяет.
При $k=0$ наименьший положительный корень $\frac12\arccos\frac{a}2$.
При $k=1$ это $\pi-\frac12\arccos\frac{a}2$.
При $k>1$ получаем большие корни.
Таким образом, необходимо решить неравенство
$$\left|\max\left\{\frac{\pi}3+\arcsin\frac{2a-1}{2\sqrt3}; -\frac{2\pi}3-\arcsin\frac{2a-1}{2\sqrt3}\right\}\right|\le \min\left\{\frac12\arccos\frac{a}2; \pi-\frac12\arccos\frac{a}2\right\}.$$
Или я уже на этом шаге ошибаюсь?
Но поскольку $\max(a, b)=\frac{a+b+|a-b|}2$, $\min(a, b)=\frac{a+b-|a-b|}2$, то неравенство выше можно переписать в виде
$$\left|\frac{\pi}3+\arcsin\frac{2a-1}{2\sqrt3}\right|\le\frac12\arccos\frac{a}2.$$
Но оно приводит к другому ответу...